引子：AVL树是因为什么出现的？
二叉搜索树可以缩短查找的效率，如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下时间复杂度：O(N)
两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年 发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(对树中的结点进行调整),即为AVl树以他们的名字缩写命名也可以叫高度二叉搜索树
1.AVl树的的特性
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树，它就是AVL树。
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)，节点右子树最长路径-左子树最长路径
如果AVl树有n个结点，其高度可保持在O(logN) ，搜索时间复杂度O(logN),为什么？
答：左右子树高度之差的绝对值不超过1，那么只有最后一层会差一部分的节点；
2.AVl树的框架
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template<class K, class V>
struct AVLtreeNode
{
//节点构造函数
AVLtreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_bf(0)
,_kv(kv)
{}
//节点的成员
//三叉链
AVLtreeNode<K, V>* _left;
AVLtreeNode<K, V>* _right;
AVLtreeNode<K, V>* _parent;
int _bf;//平衡因子
//数据使用库里面的pair类存储的kv
pair<K, V> _kv;
};
template<class K,class V>
class AVLtree
{
typedef AVLtreeNode<K, V> Node;
public:
//构造函数
AVLtree()
:_root(nullptr)
{}
//四种旋转
void RotateL(Node* parent)
void RotateR(Node* parent)
void RotateLR(Node* parent)
void RotateRL(Node* parent)
//插入
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
//寻找
Node* Find(const K& kv)
private:
Node* _root;
};
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三叉链是什么？
3.AVL树的插入
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bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = _root, *cur = _root;
while (cur)
{
//找nulptr，如果已经有这个key了，二叉搜索树的特性不支持冗余，所以返回失败
if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_kv.first <kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
//
cur = new Node(kv);
//判断孩子在父亲的左边还是右边
if (cur->_kv.first > parent->_kv.first)
{
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
else
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
while (parent)
{
//影响一条路径所有的祖先
if (parent->_right == cur)
parent->_bf++;
else
parent->_bf--;
if (parent->_bf == 0)
{
//左右平衡了不会再影响祖先了
break;
}
if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
//当前节点所在子树变了，会影响父亲
// 继续往上更新
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
//parent所在子树已经不平衡，需要旋转处理一下
if (parent->_bf == -2)
{
if (cur->_bf == -1)
// 右单旋
RotateR(parent);
else // cur->_bf == 1
RotateLR(parent);
}
else // parent->_bf == 2
{
if (cur->_bf == 1)
// 左单旋
RotateL(parent);
else // cur->_bf == -1
RotateRL(parent);
}
break;
}
else
{
// 插入节点之前，树已经不平衡了，或者bf出错。需要检查其他逻辑
assert(false);
}
}
return true;
}
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插入整体逻辑：
- 如果还没有元素是一课空树，直接插入即可；如果有元素，按pair的first(key)和比较的节点比较结果为大说明为空的哪个位置在右边，和比较的节点比较的结果小说明为空的哪个位置在左边，如果相等说明已经有这个元素了，二叉搜索树不支持冗余返回一个pair类第一个成员为那个相同元素的map的迭代器和第二个成员为false的pair类迭代器；
- 不知道这个已经找到的位置在父节点的左边还是右边，需要判断一下，然后插入元素；
- 插入元素的后那么平衡因子将发生变化，为0说明这个父亲节点左右平衡不会影响其他节点，为1或者-1需要向上调整，为2或者-2说明已经不平衡需要旋转；
节点右子树最长路径-左子树最长路径，右边插入节点就+，左边插入节点就-；
3.1四种旋转（左单旋、右单旋、左右双旋、右左双旋）
3.1.1左单旋
- 调用函数是传的参数是轴点
- 要保留轴点的父亲，以及调整三叉链
- 调整后原来的孩子和父亲（轴点）的平衡因子都置为0；
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void RotateR(Node* parent)
{
//轴点的左，孩子节点
Node* subL = parent->_left;
//孩子节点的右
Node* subLR = subL->_right;
//我的右当你（轴点）的左
parent->_left = subLR;
//调整三叉链
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
//你（轴点）做我的右
subL->_right = parent;
//调整三叉链
Node* parentParent = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == _root)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
//轴点的父亲新的孩子节点
if (parentParent->_left == parent)
parentParent->_left = subL;
else
parentParent->_right = subL;
subL->_parent = parentParent;
}
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
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3.1.2右单旋
- 调用函数是传的参数是轴点
- 要保留轴点的父亲，以及调整三叉链
- 调整后原来的孩子和父亲（轴点）的平衡因子都置为0；
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void RotateL(Node* parent)
{
//轴点的右，孩子节点
Node* subR = parent->_right;
//孩子节点的左
Node* subRL = subR->_left;
//我的左当你（轴点）的右
parent->_right = subRL;
//调整三叉链
if (subRL)
{
subRL->_parent = parent;
}
//你（轴点）做我的左
subR->_left = parent;
Node* parentparent = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
if (parent == _root)
{
if (parentparent->_left == parent)
parentparent->_left = subR;
else
parentparent->_right = subR;
subR->_parent = parentparent;
}
else
{
subR->_parent = nullptr;
_root = subR;
}
subR->_bf = parent->_bf = 0;
}
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3.1.3左右双旋
- 调用左单旋是传的参数是轴点1，右单旋传的轴点2
- 平衡因子分3种情况，依靠3个被改变节点中最后一个来判断
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void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
// ...平衡因子调节还需要具体分析
if (bf == -1)
{
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
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依靠3个被改变节点中最后一个来判断
3.1.4右左双旋
- 调用右单旋是传的参数是轴点1，左单旋传的轴点2
- 平衡因子分3种情况，依靠3个被改变节点中最后一个来判断
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void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
// 平衡因子更新
if (bf == 1)
{
subR->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
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附：AVL的性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log2(N)
但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：
插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。
总结
- 调用旋转的实参是轴点
- 左单旋：我的左当你的右，你（轴点）当我的左
- 右单旋：我的右当你的左，你（轴点）当我的右
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