1. 引言
本文为介绍流行的数独游戏的系列文章中的第一篇。更具体地说，我们如何构建一个脚本来解决数独难题，本文的重点在于介绍用于构建数独求解器的回溯算法。
数独这个名字的由来来自日语短语suuji wa dokushin ni kagiru，意思是“数字必须保持单一”。数独游戏的流行也源于其规则的简单性：数独游戏要求在 9 x 9 空间的网格上进行数字填写。在行和列中有 9 个“正方形”的格子block(由 3 x 3 个子单元格cell组成)。每一行、每一列、每一个block都需要填写数字 1-9，行、列、block内不得重复任何数字。
好的，知道了上述数独的规则，那么我们就来直接进入主体吧。 ：）
2.描述数独九宫格
这一步主要为使用一组数字来初始化我们的九宫格。我们使用setBoard() 函数将输入转换为适合我们后续操作的数据类型。我们使用以下约定：
- 空的单元格cell初始化为默认值0。
- 维持数独谜题数字值的数据类型是一个 9x9 大小的二维列表。
这里我们的输入是一个多行字符串，我们将其处理成二维列表的形式。样例代码如下：
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# Initialize a 2-D list with initial values described by the problem.
# Returns board
def setBoard():
board = list()
sudokuBoard = '''
200080300
060070084
030500209
000105408
000000000
402706000
301007040
720040060
004010003
'''
rows = sudokuBoard.split('\n')
for row in rows:
column = list()
for character in row:
digit = int(character)
column.append(digit)
board.append(column)
return board
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上述代码运行后，如果展示在拼图游戏中，他的样子大概如下：
3.寻找下一个空子单元格
函数findEmpty() 函数的操作更加简单：对初始化后的九宫格作为参数传递，然后该遍历该九宫格中每一个子单元格cell，直到找到返回的第一个空的子单元格。如果没有找到空的子单元格，这表明我们的问题已解决，因此它返回None。
样例代码如下：
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# Find next empty space in Sudoku board and return dimensions
def findEmpty(board):
for row in range(9):
for col in range(9):
if board[row][col] == 0 :
return row,col
return None
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4. 子单元格中设置值的合法性
函数isValid()的操作是确认设定的数字是否是九宫格子单元格的有效选项。为了使设置的值满足数独九宫格的要求，该值的设置需满足以下条件：
- 同一行的任何子单元格cell都不应包含该数字
- 同一列的任何子单元格cell都不应包含该数字
- 该子单元格cell所在的block不应该包含该数字
如果我们设定的值满足以上所有条件，该函数返回True，否则返回False。代码如下：
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# Check whether a specific number can be used for specific dimensions
def isValid(board, num, pos):
row, col = pos
# Check if all row elements include this number
for j in range(9):
if board[row][j] == num:
return False
# Check if all column elements include this number
for i in range(9):
if board[i][col] == num:
return False
# Check if the number is already included in the block
rowBlockStart = 3* (row // 3)
colBlockStart = 3* (col // 3)
rowBlockEnd = rowBlockStart + 3
colBlockEnd = colBlockStart + 3
for i in range(rowBlockStart, rowBlockEnd):
for j in range(colBlockStart, colBlockEnd):
if board[i][j] == num:
return False
return True
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以下是通过isValid() 函数中描述的条件后成功插入新值的动态示例：
同时，若我们引入一个与九宫格数独上已经存在的值冲突的数值，那么此时该值将不会被插入。图例如下：
5. 实现回溯算法
下一个函数是我们整个解决方案的核心思想，这里引入了回溯思想，该算法的实现步骤如下：
- 搜索下一个空的子单元格cell。如果没有找到，那么我们已经解决了这个难题；如果没有，则转到第 2 步。
- 通过迭代数字1-9 来猜测正确的数字，并参考已经确定的数字来检查它是否是一个合法的数字。
- 如果找到一个有效的数字，此时递归调用solve() 函数并猜测下一个空的子单元格cell。
- 如果数字1-9均无效，则将将子单元格cell的值重置为 0，并继续迭代以查找下一个有效数字。
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# Solve Sudoku using backtracking
def solve(board):
blank = findEmpty(board)
if not blank:
return True
else:
row, col = blank
for i in range(1,10):
if isValid(board, i, blank):
board[row][col] = i
if solve(board):
return True
board[row][col] = 0
return False
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由于递归理解起来不是那么直观，不妨让我们尝试使用动态来将整个过程形象化：
正如我们在上面的示例中看到的那样，该算法用有效数字填充空子单元格cell，直到出现死胡同；然后它回溯，直到重新迭代该过程。
6. 性能表现
上述我们的程序需要使用回溯算法来遍历每个单元格的许多潜在值。这当然不是最优的解法，可以预想到我们的解决方法的性能会很慢。
我们使用上述代码，来解决欧拉计划的第96题中的50道数独题目，运行时间为：
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The execution time of above program is : 23.56185507774353 s
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好吧，确实有点慢。我们后面再来开篇讲解数独算法的优化。
7. 总结
本文讲解了数独游戏的相关规则，以及如何在Python中利用回溯思想来一步一步解决数独问题，并给出了完整的实现。
